Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①且；②且．
（1）求及的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量的加法的几何意义，再结合坐标运算的法则，可得及的坐标，因而再结合已知条件，可得，代入坐标可得A_n（n-1，n），它满足直线方程y=x+1；
（2）用类似于（1）的方法，结合已知条件用等比数列求和公式，得：，代入四边形
A_nB_nB_n+1A_n+1的面积，进而得到a_n的通项公式为a_n=5+（n-2）×；
（3）通过作差，得，再通过讨论得到这个差在n=4时为0，而n＜4时为正，n＞4时为负，从而得到a₄=a₅为的最大项，因此不难求出存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有a_n＜M成立．
解答：解：（1），


==（n-1，n）
所以A_n（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点A_n在直线y=x+1上．
（2）
=
=．
设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
则
=[10-9×]×（n+1）-[10-9×]×n
=5+（n-2）×
（3）=
所以a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0，a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，…等
即在数列{a_n}中，是数列的最大项，
所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有a_n＜M成立．
点评：本题考查了平面向量与数列的综合，是一道难题．对于等比数列的通项和求和公式的掌握，数列单调性的充公理解，是解决本题的关键．