Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

i

、

j

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐标；
（2）设an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通项公式；
（3）对于（Ⅱ）中的a_n，是否存在最大的自然数M，对所有n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求M值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

i

、

j

，

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

，可得

OAn

的坐标，由

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．可得

OBn

的坐标
（2）由已知中向量

OAn

，

OBn

的坐标，代入向量数量积公式可得a_n的通项公式
（3）由（3）中a_n的通项公式，结合基本不等式可得存在最大的自然数M=6，对所有n∈N^*都有a_n≥M成立．

解答：解：（1）∵

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）
∴

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=16

j

+(n-1)

i

=(n-1)

i

+16

j

=(n-1，16)，
又∵

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．
∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=(

i

+

1

2

j

)-(

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)

j

=

i

+

1

n+1

j

=(1，

1

n+1

)；…（4分）
（2）由（1）中

OAn

=(n-1，16)，

OBn

=(1，

1

n+1

)
∴an=

OAn

•

OBn

=n-1+

16

n+1

；…（8分）
（3）an=n-1+

16

n+1

=(n+1)+

16

n+1

-2≥6，
当且仅当n=3时取得最小值6．
所以存在最大的自然数M=6，对所有n∈N^*都有a_n≥M成立．（也可以由对号函数求解最小值）                          …（14分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的线性运算，平面向量的数量积，基本不等式在求最值时的应用，是平面向量与基本不等式的综合应用，难度中等．