Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

i

、

j

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐标；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量加法的三角形法则的推广，及已知条件①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．得到

OAn

及

OBn

的坐标；
（2）设A_nA_n+1的所在的直线交x轴于点p，结合图形表示出四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，
（3）求出an-an+1= (n-4)×(

2

3

)n-1，推广对n的讨论得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出数列中最大值为a4=a5=5+

8

9

，求出M．

解答：解：（1）

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

j

+(n-1)(

i

+

j

)=(n-1)

i

+n

j

=(n-1，n)．

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=3

i

+(

2

3

)1×3

i

+(

2

3

)2×3

i

+…+(

2

3

)n-1×3

i

=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

×3

i

=(9-9×(

2

3

)n，0)．
（2）设A_nA_n+1的所在的直线交x轴于点p，则有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=

1

2

[10-9×(

2

3

)n+1]×(n+1)-

1

2

[10-9×(

2

3

)n]×n
=5+(n-2)×(

2

3

)n-1．
（3）an-an+1=[5+3(n-2)×(

2

3

)n-1]-[5+3(n-1)×(

2

3

)n]=3×(

2

3

)n-1[(n-2)-(n-1)×(

2

3

)]=(n-4)×(

2

3

)n-1．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在数列{a_n}中，a4=a5=5+

8

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是数列的最大项，所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．

点评：本题考查解决数列的问题关键是求出数列的通项，根据通项的特点，选择合适的方法来解决，在高考题中数列出现在解答题中，属于难题．