Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是

i

、

j

，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①

OA1

=4

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．（其中O为坐标原点）
（I）求向量

OAn

及向量

OBn

的坐标；
（II）设an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通项公式并求a_n的最小值；
（III）对于（Ⅱ）中的a_n，设数列bn=

sin nπ 2 cos (n-1)π 2

(n+1)an-6n+3

，S_n为b_n的前n项和，证明：对所有n∈N^*都有Sn＜

89

48

．

Answer 1

分析：（I）利用向量加法的三角形法则的推广，及已知条件①

OA1

=4

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．得到

OAn

及

OBn

的坐标；
（II）an=

OAn

•

OBn

=n-1+

4

n+1

，利用基本不等式可求a_n的最小值；
（III）当n=1，2，3，…时，sin

nπ

2

cos

(n-1)π

2

=1，0，1，0，…从而S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…，根据数列bn=

sin nπ 2 cos (n-1)π 2

(n+1)an-6n+3

，从而可得bn=

1

n2-6n+6

＜

1

n2-6n+5

=

1

(n-1)(n-5)

=

1

4

[

1

(n-5)

-

1

(n-1)

]，进而可证．

解答：解：（I）由题意，

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=(n-1，4)

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=(

i

+

1

2

j

)-(

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)

j

=

i

+

1

n+1

j

=(1，

1

n+1

)；
（II）an=

OAn

•

OBn

=n-1+

4

n+1

；
an=n-1+

4

n+1

=n+1+

4

n+1

-2≥2
即a_n的最小值为a₁=2
（III）当n=1，2，3，…时，sin

nπ

2

cos

(n-1)π

2

=1，0，1，0，…
从而S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…，又bn=

0 1 n2-6n+6

，

n=2k n=2k+1

b₁=1，b3=-

1

3

，b₅=1，当n≥7时，bn=

1

n2-6n+6

＜

1

n2-6n+5

=

1

(n-1)(n-5)

=

1

4

[

1

(n-5)

-

1

(n-1)

]∴S_n=b₁+b₃+b₅+b₇+…=b₁+b₃+b₅+[b₇+b₁₁+b₁₅+…]+[b₉+b₁₃+b₁₇+…]＜1-

1

3

+1+

1

4

[

1

2

-

1

6

+

1

6

-

1

10

+…]+

1

4

[

1

4

-

1

8

+

1

8

-

1

16

+…]＜

5

3

+

1

8

+

1

16

=

89

48

点评：本题考查解决数列的问题关键是求出数列的通项，根据通项的特点，选择合适的方法来解决，在高考题中数列出现在解答题中，属于难题．