题目内容
设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为| i |
| j |
| OA1 |
| j |
| AnAn+1 |
| i |
| j |
| OB1 |
| i |
| BnBn+1 |
| 3 |
| 4 |
| i |
| OAn |
| OBn |
分析：（1）根据①以及向量加法的三角形法则求出
=
+
+…+
2
+(n-1) (
+
)=（n-1，n+1），同理求出
的坐标；
（2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；记C（-2，0），利用分割的方法求四边形AnBnBn+1An+1的面积是an=S△CBn+1An+1-S△CAnBn，代入面积公式即可求得；
（3）由（2）知：an+1-an=5+(
)n(n-1)-[5+(
)n(n-2)]=(
)n(
)，分类讨论即可求得结论．
| OAn |
| OA1 |
| A1A2 |
| AnAn+1 |
| j |
| i |
| j |
| OBn |
（2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；记C（-2，0），利用分割的方法求四边形AnBnBn+1An+1的面积是an=S△CBn+1An+1-S△CAnBn，代入面积公式即可求得；
（3）由（2）知：an+1-an=5+(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5-n |
| 4 |
解答：解：（1）
=
+
+…+
=2
+(n-1) (
+
)=（n-1，n+1），
=
+
+…+
=2
[1+
+(
)2 +…+(
)N-1]
=8
[1-(
)n]=（8[1-(
)n]，0）；
（2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；
记C（-2，0），
则an=SAnBnBn+1 An+1=S△CBn+1An+1-S△CAnBn
=
[10-8(
)n]-(n+1)=5+(
)n(n-2)，
∴an=5+(
)n(n-2)，
（3）由（2）知：an+1-an=5+(
)n(n-1)-[5+(
)n(n-2)]=(
)n(
)，
当n=5时，a5=a6；
当n≥6时，：an+1-an＜0
所以存在最小的自然数N=5，
当n＞N时恒有：an+1＜an成立．
| OAn |
| OA1 |
| A1A2 |
| AnAn+1 |
| j |
| i |
| j |
| OBn |
| OB1 |
| B1B2 |
| BnBn+1 |
| i |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
=8
| i |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（2）由（1）可知：点An（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点Bn都在x轴上；
记C（-2，0），
则an=SAnBnBn+1 An+1=S△CBn+1An+1-S△CAnBn
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴an=5+(
| 3 |
| 4 |
（3）由（2）知：an+1-an=5+(
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5-n |
| 4 |
当n=5时，a5=a6；
当n≥6时，：an+1-an＜0
所以存在最小的自然数N=5，
当n＞N时恒有：an+1＜an成立．
点评：此题是个中档题．考查向量与数列的综合，主要考查了向量的加法的三角形法则和坐标表示，以及数列比较大小的方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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