Question

【题目】已知函数.

（1）若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；

（2）设，若，恒有成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求导得到，根据题意得到在上有解，则，计算得到答案.

（2）设，，计算得到单调递增，故，讨论，，三种情况，得到的取值范围为，设，根据函数的单调性得到答案.

（1）由，得，

由在上存在单调递增区间，可得在上有解，

即在上有解，则，∴，

∴的取值范围为.

（2）设，，

则.

设，则，

∴单调递增，即在上单调递增 ∴.

当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；

当时，，在上单调递减，，符合题意；

当时，由于为一个单调递增的函数，

而，，

由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，

从而在上单调递减，在上单调递增，

因此只需，∴，∴，从而，

综上，的取值范围为，

因此.设，则，

令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，

从而，∴的最小值为.