Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且过点，直线交椭圆于不同的两点，设线段的中点为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当的面积为（其中为坐标原点）且时，试问：在坐标平面上是否存在两个定点，使得当直线运动时，为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点，或，，使得为定值．

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，由于已知离心率为，这样可得，从而可得，从而可设可椭圆方程为，再把椭圆上点的坐标代入可解得，得椭圆方程；

（2）由题设结论可知中点的坐标适合一个椭圆方程，即点在椭圆上，那么题中要求的定点就是椭圆的焦点．实质上从问题出发，就让我们想到点应该在某个椭圆上．因此从这方面入手，就要求的轨迹方程，因此我们从已知出发先找出参数的关系，再求出弦中点的坐标（用表示），然后消去参数可得．

具体方法：由直线方程，与椭圆方程联立方程组，消去后得的一元二次方程：，已知保证，即直线与椭圆一定相交，设，可得，于是有，从而点的坐标，由直线圆锥曲线相交弦长公式可得弦长，由点到直线距离公式可得原点点到直线的距离为，利用的面积为可得满足的关系：，

试题解析：（1）由于椭圆的离心率为，则，故椭圆：

又椭圆过点，从而，从而椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，并设，联立方程，

得，则

从而，从而点的坐标为

由于，点到直线的距离为，

则的面积

由题得：，

从而化简得：

故，即或，

又由于，从而．

当时，由于，，

从而

即点在椭圆上．

由椭圆的定义得，存在点，或，，

使得为定值．