Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆：，直线：.为圆内一点，弦过点，过点作的垂线交于点.

（1）若，求的面积；

（2）判断直线与圆的位置关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线与圆相切，证明见解析.

【解析】

（1）根据直线平行可得直线MN的方程，然后求出弦长和高，可得三角形的面积；

（2）联立方程求出点的坐标，利用向量数量积证明，进而可得直线与圆的位置关系.

（1）因为，设直线的方程为，

由条件得，，解得，即直线MN的方程为.

因为，，所以，即，

所以.

又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，

所以的面积为.

（2）直线与圆相切，证明如下：

设，则直线的斜率，

因为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

联立方程组解得点的坐标为，

所以，

由于，，

所以

，

所以，即，所以直线与圆相切，得证.