题目内容
【题目】如图，在
中，
，点
为
的中点，点
为线段垂直平分线上的一点，且
，固定边，在平面
内移动顶点
，使得的内切圆始终与切于线段
的中点，且、在直线的同侧，在移动过程中，当
取得最小值时，的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到
点的轨迹是以
、
为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C的位置，再求三角形的面积.
如图，
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，设
的内切圆分别切
、
、于
，
，
点，
∵
，
所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的第一象限部分，且
，
，
，
∴的轨迹方程为
．
∵
，∴
，∴
，
则当点为线段
与双曲线在第一象限的交点时，
最小，
如图所示：
线段的方程为
，将其代入
，得
，
解得
（舍去）或
，∴
，
∴
．
∴的面积为
．
故选：A
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