题目内容

6．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4-8sin2$\frac{θ}{2}$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$ （t为参数，θ∈[0，π]）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，点M的直角坐标为（2，1），若$\overrightarrow{MA}$=-2$\overrightarrow{MB}$，求直线l的参数方程．

分析 （1）利用二倍角公式化简极坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线的普通方程得出关于参数的一元二次方程，根据参数的几何意义得出两根，求出sinθ，cosθ，从而写出直线l的参数方程．

解答 解：（1）∵ρ=4-8sin2$\frac{θ}{2}$，∴ρ=4+4cosθ-4=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：t2+2sinθ•t-3=0．
∴t1t2=-3，t1+t2=-2sinθ．
∵$\overrightarrow{MA}$=-2$\overrightarrow{MB}$，∴t1=-2t2，解得t1=-$\sqrt{10}$．t2=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，或t1=$\sqrt{10}$，t2=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴t1+t2=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴-2sinθ=$±\frac{\sqrt{10}}{2}$，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或-$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{6}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\end{array}\right.$（t为参数）．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义及应用，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
16．设i为虚数单位，复数z=$\frac{3-i}{i}$，则z的共轭复数$\overline{z}$=（　　）
A．-1-3iB．1-3iC．-1+3iD．1+3i
17．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，已知|AB|等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．2
14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与直线3x+$\sqrt{6}$y+3=0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆（x-c）2+y2=2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为（　　）
A．4B．2C．$\sqrt{5}$D．$2\sqrt{5}$
1．复数z满足z（2-i）=|1+2i|，则z的虚部为（　　）
A．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$B．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}i$C．1D．i
11．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（　　）
A．（x-2）2+y2=$\sqrt{10}$B．（x+2）2+y2=10C．（x+2）2+y2=$\sqrt{10}$D．（x-2）2+y2=10
18．在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，那么该双曲线的离心率为3．
15．己知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{5}{2}$，0≤x≤t+1，求f（x）的最大值（其中t＞0）．
16．对于等比数列{an}的前n项和Sn（　　）
A．任意一项都不为零B．必有一项为零
C．至多有有限项为零D．可以有无数项为零

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网