Question

5．设函数f（x）=e^x-ax-1
（1）若函数f（x）在R上单调递增，求α的取值范围；
（2）当α＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤0．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由函数f（x）在R上单调递增，可得其导函数大于等于0恒成立，由此求得实数a的取值范围；
（2）由导数求出函数f（x）的最小值g（a）=a-alna-1，然后利用导数求出函数g（a）的最大值得答案；

解答 （1）解：由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，
∵函数f（x）在R上单调递增，
∴f′（x）=e^x-a≥0对任意x∈R恒成立，即a≤e^x恒成立，
∵e^x＞0，∴a≤0，
故实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）证明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴当x=lna时，f（x）_min=f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
则g′（a）=-lna．
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查不等式恒成立时所取的条件，是一道中档题．