Question

10．若不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$在x＞0且x≠1时恒成立，则k的取值范围是（-∞，0]．

Answer 1

分析 把不等式移向变形，可得$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$-（$\frac{lnx}{x-1}$+$\frac{k}{x}$）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），令h（x）=2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），x＞0，则h′（x）=$\frac{（k-1）（{x}^{2}+1）+2x}{{x}^{2}}$，对k分类讨论可得h（x）的符号，结合$\frac{1}{1-{x}^{2}}$的符号求得k的取值范围．

解答 解：不等式$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$在x＞0且x≠1时恒成立，
则$\frac{lnx}{x+1}$+$\frac{1}{x}$-（$\frac{lnx}{x-1}$+$\frac{k}{x}$）=$\frac{1}{1-{x}^{2}}$（2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），
设h（x）=2lnx+$\frac{（k-1）（{x}^{2}-1）}{x}$），x＞0，
则h′（x）=$\frac{（k-1）（{x}^{2}+1）+2x}{{x}^{2}}$，
（1）设k≤0，由h′（x）=$\frac{k（{x}^{2}+1）-（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$知，
当x≠1时，h′（x）＜0，
而h（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＞0，
从而当x＞0且x≠1时，$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}＞\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$；
（2）设0＜k＜1，由于当x∈（1，$\frac{1}{1-k}$）时，（k-1）（x²+1）+2x＞0，
∴h′（x）＞0，
而h（1）=0，
∴当x∈（1，$\frac{1}{1-k}$）时，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＜0，这与题设矛盾，
（3）设k≥1时，此时h′（x）＞0，而h（1）=0，
故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得$\frac{1}{1-{x}^{2}}$h（x）＜0，这与题设矛盾，
综上所述k的取值范围为（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．

点评 本题考查了恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．