题目内容
17．
如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\sqrt{10}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 3 |
分析 利用双曲线的定义，推出a、b、c关系，然后求解双曲线的离心率即可．
解答 解：设双曲线的左焦点为F1，则四边形F1BFA是矩形，由|AF|=a，|AF1|-|AF|=2a，
可得|AF1|=3a．又|AF|=|BF1|=a，
在直角三角形BF1F中，（3a）2+a2=4c2，解得e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．
点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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5．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{2}$，则直线l：y=$\frac{2016}{2015}$x与双曲线C的交点个数为（ ）
| A． | 0 | B． | 2 | C． | 4 | D． | 以上都可能 |
12．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{\sqrt{7}}{3}$x，它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线方程为（ ）
| A． | $\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{7}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 |
9．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1的右支上，F为双曲线的左焦点，Q为线段PF的中点，O为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{17}{15}$ | B． | $\frac{15}{17}$ | C． | $\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{5}{3}$ |
6．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
| A． | 20π | B． | $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$ | C． | 5π | D． | $\frac{{5\sqrt{5}π}}{6}$ |