Question

7．数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N*），$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=（　　）

• A． $\frac{1009}{1008}$
• B． $\frac{2015}{1007}$
• C． $\frac{2016}{2015}$
• D． $\frac{2015}{2014}$

Answer 1

分析 利用$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+2）}{n+1}$及a₁=2累乘可知a_n=（n+1）2^n-1，进而利用错位相减法计算可知S_n=n•2ⁿ，代入计算即得结论．

解答 解：因为a_n+1=$\frac{2（n+2）}{n+1}$a_n（n∈N*），
所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+2）}{n+1}$，
又因为a₁=2，
所以当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$
=$\frac{2（n+1）}{n}$•$\frac{2n}{n-1}$•…•$\frac{2×（1+2）}{1+1}$
=$\frac{n+1}{2}$•2^n-1，
所以a_n=2•$\frac{n+1}{2}$•2^n-1=（n+1）2^n-1，
记数列{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=2×2⁰+3×2¹+…+（n+1）2^n-1，
2S_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）2ⁿ，
两式相减，得：-S_n=2+（2¹+2²+…+2^n-1）-（n+1）2ⁿ=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）2ⁿ，
所以S_n=n•2ⁿ，
所以$\frac{{a}_{2017}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{2016}}$=$\frac{2018•{2}^{2016}}{2016•{2}^{2016}}$=$\frac{1009}{1008}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查累加法求通项，考查错位相减法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．