Question

19．已知向量$\vec a=（{cos\frac{3}{2}x，sin\frac{3}{2}x}），\vec b=（{cos\frac{x}{2}，-sin\frac{x}{2}}）$，且$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
（1）求$\vec a•\vec b$及$|{\vec a+\vec b}|$；
（2）若$f（x）=\vec a•\vec b-2λ|{\vec a+\vec b}|$的最小值为$-\frac{3}{2}$，求正实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）先根据向量的数量积和向量的模计算即可．
（2）由（1）知f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1，根据二次函数的性质分类讨论即可

解答 解：（1）$\vec a•\vec b=cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}=cos2x$
∵$\vec a+\vec b=（{cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3}{2}x+sin\frac{x}{2}}）$，
∴${|{\vec a+\vec b}|^2}={（{cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}}）^2}+{（{sin\frac{3}{2}x+sin\frac{x}{2}}）^2}$=$2+2（{cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}}）$=2+2cos2x=4cos²x．
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴cosx≥0，因此$|{\vec a+\vec b}|=2cosx$．
（2）由（1）知f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1，
∴f（x）=2（cosx-λ）²-1-2λ²，cosx∈[0，1]，
①当0＜λ＜1时，当cosx=λ时，f（x）有最小值$-1-2{λ^2}=-\frac{3}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
②当λ≥1时，当cosx=1时，f（x）有最小值$1-4λ=-\frac{3}{2}$，$λ=\frac{5}{8}$（舍去），综上可得$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积和向量的模以及三角函数的化简和二次函数的性质，属于中档题