Question

2．已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC 的面积的最大值为$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=r，点C的坐标为（x，y），可得G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x²+y²=9r²，得到点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外）．可得当C点在y轴时y的值达到最大值，此时三角形面积最大，由此结合三角形面积公式即可得解．

解答 解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$，
以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系，
设AB=2r（r＞0），则A（-r，0），B（r，0），
设C（x，y），可得G（$\frac{x}{3}$，$\frac{y}{3}$）
∵AG⊥BG，
∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（$\frac{x}{3}$）²+（$\frac{y}{3}$）²=r²，整理得x²+y²=9r²，
因此，点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外），
可得，当x=0时，y取得最大值3r，
∴此时，tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$，AC=BC=2，
∵r²+（3r）²=2，解得：r=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴此时，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2r×3r$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求三角形面积的最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题．