题目内容

已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的离心率为
3
，它的右准线与渐近线在第一象限交点为M，且点M到原点的距离为
3
，求双曲线C的方程．
考点：双曲线的简单性质,双曲线的标准方程
专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由题意可得
c
a
=
3
，从而化简M（
3
3
a，
6
3
a），从而可得（
3
3
a）2+（
6
3
a）2=3，从而求出a，写出双曲线C的方程即可．
解答： 解：∵
c
a
=
3
，
∴c2=3a2，b2=2a2，
右准线方程为x=
3
3
a，
渐近线方程为y=
2
x，
则M（
3
3
a，
6
3
a），
故由题意可得，
（
3
3
a）2+（
6
3
a）2=3，
从而可得a=
3
；
则双曲线C的方程为
x2
3
-
y2
6
=1．
点评：本题考查了双曲线的定义及应用，属于基础题．
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3
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；
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3
2
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．
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x
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