Question

求函数y=（

1

4

）^x-（

1

2

）^x+1，x∈[-3，2]的单调区间，并求它的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=(

1

2

)x，将原函数化为二次函数y=t²-t+1，再根据复合函数的性质即可

解答： 解：∵y=(

1

4

)x-（

1

2

）^x+1，∴令t=(

1

2

)x，∵x∈[-3，2]，∴t∈[

1

4

，8]
∴原函数可化为y=t²-t+1=（t-

1

2

）²+

3

4

，（t∈[

1

4

，8]，）∴t=

1

2

是对称轴
∵x∈[-3，1]时，x增大⇒t=(

1

2

)x递减，且t∈[

1

2

，8]，⇒y=（t-

1

2

）²+

3

4

递减
∴[-3，1]是函数y=（

1

4

）^x-（

1

2

）^x+1的递减区间，同理，[1，2]是函数的递增区间
∴y_min=

3

4

，y_max=57
故原函数递减区间是[-3，1]，递增区间是[1，2]，值域是[

3

4

，57]

点评：本题考查复合函数的单调区间，属于基础题．