Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-（a+1）x．
①当a=1时，求函数f（x）的极值；
②若f（x）在[

2

3

+∞）上是递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：①当a=1时，f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）．令f′（x）=0，解得x=-1，2．列表研究函数的单调性即可得出极值；
②f（x）在[

2

3

，+∞）上是递增函数，可得f′（x）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立，即a≤x-1在[

2

3

，+∞）上恒成立．∴a≤（x-1）_min，x∈[

2

3

，+∞）．

解答： 解：①∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-（a+1）x，∴f′（x）=x²-ax-（a+1），
当a=1时，f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，2．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	增	极大值	减	极小值	增

当x=-1时取得极大值，为

7

6

；当x=2时取得极小值，为-

10

3

．
②∵f（x）在[

2

3

，+∞）上是递增函数，∴f′（x）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立，
即x²-ax-（a+1）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立．即a≤x-1在[

2

3

，+∞）上恒成立．
∵y=x-1在[

2

3

，+∞）上单调递增．∴y≥

2

3

-1=-

1

3

．
∴a≤-

1

3

．
∴实数a的取值范围是a≤-

1

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．