题目内容

己知曲线曲线C2的参数方程是
x=m+tcosα
y=tsinα
，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+
π
4
，θ=φ-
π
4
与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．
（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=
2
|OA|
（Ⅱ）当φ=
π
12
时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程
专题：坐标系和参数方程
分析：（Ⅰ）依题意可得，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos(φ+
π
4
)，|OC|=4cos(φ-
π
4
)，利用两角和差的余弦公式化简|OB|+|OC|，即可证得等式成立．
（Ⅱ）当φ=
π
12
时，求得B，C两点的极坐标，再化为化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，而经过点B，C的直线方程为y=-
3
(x-2)，从而求得m和α
解答： 解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos(φ+
π
4
)，|OC|=4cos(φ-
π
4
)，
则||OB|+|OC|=4cos(φ+
π
4
)+4cos(φ-
π
4
)=4
2
cosφ=
2
|OA|．
（Ⅱ）当φ=
π
12
时，B，C两点的极坐标分别为(2，
π
3
)，(2
3
，-
π
6
)，化为直角坐标为B(1，
3
)，C(3，-
3
)．
C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=-
3
(x-2)，
所以m=2，α=
2π
3
．
点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，把点的极坐标化为直角坐标的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax5-bx3+cx，且f（-3）=7，则f（3）的值为（　　）
A、13B、-13C、7D、-7
求函数y=（
1
4
）x-（
1
2
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已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=
1
2
和x=2处有极值．
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（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．
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（1）把OA，OB用含h的式子表示出来；
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有2名老师，3名男生，4名女生照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？
（1）男生必须站在一起；
（2）女生不能相邻；
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平面直角坐标系中有点A（0，1）、B（2，1）、C（3，4）、D（-1，2），这四点能否在同一个圆上？为什么？
已知函数f（x）=2cos（
x
2
-
π
4
），x∈R．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若sinθ=
3
5
，θ∈（
π
2
，π），求f（4θ+π）．
已知函数f（x）=lnx-2x2+3x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：存在m∈（1，+∞），使得f（m）=f（
1
2
）；
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x1+x2
2
（a∈R）；②曲线Γ在点M处的切线平行于直线AB，则称函数f（x）存在“中值伴随切线”，试问：函数f（x）是否存在“中值伴随切线”，请说明理由．

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