Question

19．如图，四面体D-ABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC的中点，G是△ABD的重心，异面直线AD与BE所成的角为θ，且$cosθ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（1）求证BC∥平面EDG；
（2）求平面EBG与平面ACD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连DG并延长交AB于F，连结EF，推导出EF∥BC，由此能证明BC∥面EDG．
（2）以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系，利用向量法能求出面EBG与面ACD所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连DG并延长交AB于F，连结EF，
∵G是△ABD的重心，∴F是AB的中点，
又E是AC之中点，∴EF∥BC
而EF?面EDG，BC?面EDG，
∴BC∥面EDG
（2）以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系，
则C（2，0，0），A（0，2，0），E（1，1，0），设D（0，0，h），
∴$\overrightarrow{AD}=（{0，-2．h}），\overrightarrow{BE}（{1，1，0}）$，
由$|{cos?\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE＞}}|=|{\frac{-2}{{\sqrt{2{h^2}+8}}}}|=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
解得h=4，
∴$D（{0，0，4}），G（{0，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$，
∴$\overrightarrow{AC}=（{2，-2，0}），\overrightarrow{AD}=（{0，-2，4}），\overrightarrow{BE}=（{1，1，0}），\overrightarrow{BG}=（{0，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n_1}=（{2，2，1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BG}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow{n_2}=（{2，-2，1}）$，
∴$cos?\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{1}{9}$
即面EBG与面ACD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．