Question

观察下列不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…照此规律，第n（n∈N₊，n≥5）个不等式为

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{

1

n2

}的求和形式，最后一项是

1

(n+1)2

，不等式的右边是

2n+1

n+1

的形式，进而得到答案．

解答： 解：由已知中不等式：
1+

1

22

＜

3

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，
…
依题意观察不等式的左边的变化是一个数列{

1

n2

}的求和形式．
最后一项是

1

(n+1)2

．
不等式的右边是

2n+1

n+1

的形式．
所以第n个式子应该是1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

．
故答案为：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

点评：本题考查的知识点是：1．归纳推理.2．数列求和的思想.3．数列的通项，难度中档．