Question

8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（2-x）+4f（2），且f（1）=3，则f（2015）=（　　）

• A． 6
• B． 3
• C． 0
• D． -3

Answer 1

分析 先令x=0计算f（2）=0，再利用函数性质得出f（x）的周期为4，利用函数的周期性和奇偶性即可计算f（2015）．

解答 解：∵f（x+2）=f（2-x）+4f（2），
∴f（2）=f（2）+4f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+2）=f（2-x），
∴f（x-2+2）=f[2-（x-2）]，即f（x）=f（4-x），
又f（x）是奇函数，
∴f（4-x）=-f（x-4），f（x）=-f（x），
∴f（x）=f（x-4），
∴f（x）的周期为4，
∴f（2015）=f（-1）=-f（1）=-3．
故选D．

点评 本题考查了函数奇偶性和周期性的性质，计算f（x）的周期的关键，属于中档题．