Question

15．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：

x	2	4	6	8	10
y	3	6	7	10	12

（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，并估计当x=20时，y的值；
（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线2x-y-4=0的右下方的概率．
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据画出散点图即可；
（2）计算平均数与回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算x=20时y的值；
（3）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）根据表中数据，画出散点图如图所示：

（2）依题意，计算$\overline x=\frac{1}{5}（2+4+6+8+10）=6$，
$\overline y=\frac{1}{5}（3+6+7+10+12）=7.6$，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=4+16+36+64+100=220$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=6+24+42+80+120=272$，
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5{{（\overline x）}^2}}}$=$\frac{272-5×6×7.6}{{220-5×{6^2}}}$=$\frac{44}{40}$=1.1，
∴a=7.6-1.1×6=1$；
∴回归直线方程为y=1.1x+1，
当x=20时，y=1.1×20+1=23；
（3）五个点中落在直线2x-y-4=0右下方的三个点记为A，B，C，另外两个点记为d，e，
从这五个点中任取两个点的结果有
（A，B），（A，C），（A，d），（A，e），（B，C），
（B，d），（B，e），（C，d），（C，e），（d，e）共10个，
其中两个点均在直线2x-y-4=0的右下方的结果有3个，
所求的概率为$P=\frac{3}{10}$．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的计算问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．