Question

14．已知直线l：y=k（x-n）与抛物线y²=4x交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）两点．
（Ⅰ）若直线l过抛物线的焦点F，求x₁x₂的值；
（Ⅱ）若x₁x₂+y₁y₂=0，求n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线焦点，直线l方程为y=k（x-1）（k≠0），代入y²=4x利用韦达定理求出x₁x₂的值即可．
（Ⅱ）通过$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-n）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x利用韦达定理，通过x₁x₂+y₁y₂=0，转化求解n即可．

解答 解：（Ⅰ）由题设知，抛物线焦点F（1，0），…2分
于是直线l方程为y=k（x-1）（k≠0），代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，…4分
显然△=4（k²+2）²-4k⁴=4（k²+1）＞0…5分
由根与系数的关系得${x_1}{x_2}=\frac{k^2}{k^2}=1$．…6分
（Ⅱ）显然k≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-n）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x得${y^2}-\frac{4}{k}y-4n=0$
由题设$△=\frac{16}{k^2}-16n＞0$，即1+nk²＞0①
由根与系数的关系，得${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4n，②…10分
又x₁x₂+y₁y₂=0，${y_1}^2=4{x_1}$，${y_2}^2=4{x_2}$，得y₁y₂=-16，
由②得n=4，代入①式检验成立，
所以n=4．…12分．

点评 本题考查抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．