Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，

∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．                         

（Ⅰ）若P是DF的中点

(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP

(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值

（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．

                               

Answer 1

Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．

    因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，

    所以OP为三角形BDF中位线，

所以BF // OP，     

因为BF平面ACP，OP平面ACP， 

所以BF // 平面ACP．  

(ⅱ)因为∠BAF=90º，

所以AF⊥AB，    

因为 平面ABEF⊥平面ABCD，

且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 

所以AF⊥平面ABCD，                          

因为四边形ABCD为矩形，

所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

所以 ，，，．

所以 ，，

所以，

即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．                                         

（Ⅱ）解：因为AB⊥平面ADF，

所以平面APF的法向量为．

设P点坐标为，                  

在平面APC中，，，

所以 平面APC的法向量为，   

所以 ，

解得，或（舍）． 

．