题目内容
已知函数f（x）=x3+2x+sinx（x∈R），f（x1）+f（x2）＞0，则下列不等式正确的是（ ）
| A、x1＞x2 |
| B、x1＜x2 |
| C、x1+x2＜0 |
| D、x1+x2＞0 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：函数的性质及应用
分析：先证明函数f（x）是R上单调递增函数，是奇函数，由f（x1）+f（x2）＞0即可推得x1+x2＞0．
解答：
解：∵f（x）=x3+2x+sinx
∴f′（x）=3x2+2+cosx=3x2+（2+cosx）
∵3x2≥0，2+cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
又因为f（-x）=（-x）3+2（-x）+sin（-x）=-x3-2x-sinx=-（x3+2x+sinx）=-f（x）
所以有：f（x1）+f（x2）＞0⇒f（x1）＞-f（x2）=f（-x2）⇒x1＞-x2⇒x1+x2＞0
故选：D．
∴f′（x）=3x2+2+cosx=3x2+（2+cosx）
∵3x2≥0，2+cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
又因为f（-x）=（-x）3+2（-x）+sin（-x）=-x3-2x-sinx=-（x3+2x+sinx）=-f（x）
所以有：f（x1）+f（x2）＞0⇒f（x1）＞-f（x2）=f（-x2）⇒x1＞-x2⇒x1+x2＞0
故选：D．
点评：本题主要考察了利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性的判定，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，则f（1）和f（-10）的大小关系为（ ）
| A、f（1）＞f（-10） |
| B、f（1）＜f（-10） |
| C、f（1）=f（-10） |
| D、f（1）与f（-10）的大小关系不确定 |
直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2
，则k的取值范围是（ ）
| 3 |
A、[-
| ||||||||
B、[-∞，-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
|
已知a＞0，b＞0，4a+b=1，则ab的最大值是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、1 |