Question

8．设斜率为k（k≠0）的直线与离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，P是线段AB的中点，直线OP的斜率为k′．
（Ⅰ）证明积kk′是定值；
（Ⅱ）若直线0P的倾斜角为$\frac{3π}{4}$时△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；
（Ⅱ）直线0P的倾斜角为$\frac{3π}{4}$时，k′=-1，k=$\frac{1}{2}$，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为x²+2y²=2b²，设方程为y=$\frac{1}{2}$x+m代入x²+2y²=2b²，并整理得3x²+4mx+4m²-4b²=0，进而可求△OAB面积，利用△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出b，即可求椭圆的方程．

解答 （Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1
作差可得b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）+a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∴2b²x₀+2a²y₀•k=0，
∴kk′=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∵离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴kk′=-$\frac{1}{2}$是定值；
（Ⅱ）解：直线0P的倾斜角为$\frac{3π}{4}$时，k′=-1，k=$\frac{1}{2}$，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可化为x²+2y²=2b²，
设方程为y=$\frac{1}{2}$x+m代入x²+2y²=2b²，并整理得3x²+4mx+4m²-4b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4{b}^{2}}{3}$
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\frac{\sqrt{48{b}^{2}-32{m}^{2}}}{3}$，
∵O到直线AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$，
∴△OAB面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{{m}^{2}（48{b}^{2}-32{m}^{2}）}}{6}$=$\frac{\sqrt{-32（{m}^{2}-\frac{3}{4}b）^{2}+18{b}^{2}}}{6}$，
∵直线0P的倾斜角为$\frac{3π}{4}$时△OAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{18}b}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．