题目内容
5．已知k∈Z，关于x的不等式k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，则k的最小值为（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 问题转化为k＞$\frac{2x}{x+1}$•e-x对x＞0恒成立，令f（x）=e-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），根据函数的单调性求出f（x）的最大值，求出k的最小值即可．
解答 解：k（x+1）＞$\frac{2x}{e^x}$在（0，+∞）上恒成立，
即k＞$\frac{2x}{x+1}$•e-x对x＞0恒成立，
令f（x）=e-x•$\frac{2x}{x+1}$，（x＞0），
f′（x）=$\frac{-2{（x}^{2}+x-1）}{{{e}^{x}（x+1）}^{2}}$，
∴f′（x）＞0?x2+x-1＜0
⇒0＜x＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，f′（x）＜0?x＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
则f（x）max=f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$，
而0＜$\frac{3-\sqrt{5}}{{e}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
又k∈Z，故k的最小值是1，
故选：B．
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
15．以椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一动点M为圆心，1为半径作圆M，过原点O作圆M的两条切线，A，B为切点，若∠AOB=θ，θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，则椭圆C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
16．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，若|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角$θ=\frac{π}{6}$，且（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则m=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
20．已知a=5log33.4，b=5log33.6，c=（$\frac{1}{5}$）log30.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
| A． | c＞a＞b | B． | b＞a＞c | C． | a＞b＞c | D． | a＞c＞b |
17．若z=（2+i）cosπ（i为虚数单位），则z=（ ）
| A． | 2+i | B． | $\frac{2-i}{5}$ | C． | $\frac{2-i}{3}$ | D． | 1 |
14．一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ）
| A． | $\frac{11\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{15\sqrt{3}}{4}$ | C． | $\frac{11\sqrt{3}}{4}$ | D． | 5$\sqrt{3}$ |