Question

在平面直角坐标系xOy中，过点（3，4）的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，则△AOB面积的最小值是（　　）

• A、12
• B、16
• C、24
• D、48

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：设出直线与坐标轴的交点A、B的坐标，得出过A、B的直线方程，由直线过点M（3，4），得出

3

a

+

4

b

=1；利用基本不等式求出ab的最小值，即得△AOB面积的最小值．

解答： 解：画出图形，如图所示，；
设点A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0；
∴过A、B的直线方程为

x

a

+

y

b

=1，
又直线过点M（3，4），
∴

3

a

+

4

b

=1；
∴1=

3

a

+

4

b

≥2

3×4 ab

，
即

1

4

≥

12

ab

，
即

1

48

≥

1

ab

，
∴ab≥48；
当且仅当

3

a

=

4

b

=

1

2

，
即a=6，b=8时取“=”；
∴S_△ABC=

1

2

ab≥

1

2

×48=24，
即△AOB面积的最小值是24．
故选：C．

点评：本题考查了直线方程的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应根据题意，求出直线方程满足的条件，利用基本不等式求出结论，是综合题．