Question

设a∈R，e为自然对数的底数，函数f（x）=

(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)•ex，x≤1 [(6a-1)lnx+x+ a x +15a]•e，x＞1

（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在x=e处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜-1时，是否存在a使f（x）在[a，-a]上为减函数，若存在，求实数a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=0代入第二段函数，求导后得到函数在x=e处的导数，再求出f（e），然后由直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）分别对两段函数在[a，1]上和[1，-a]上求导，由导函数小于0得a的范围，再由x=1时上段函数的函数值大于等于下段函数的函数值求得a的范围，最后去交集得答案．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=（-lnx+x）•e，x＞1．
∴f′(x)=(1-

1

x

)•e，
则f′（e）=e-1．
又f（e）=e²-e．
∴y-e²+e=（e-1）（x-e），
整理得：（e-1）x-y=0；
（Ⅱ）当a＜-1时，-a＞1，则区间[a，-a]的左端点小于-1，右端点大于1，
要使f（x）在[a，-a]上为减函数，
即f（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）•e^x  ①在[a，1]上为减函数，
f(x)=[(6a-1)lnx+x+

a

x

+15a]•e  ②在[1，-a]上为减函数，
且（-2+3a+6a-4a²-6a）•e≥（1+a+15a）•e  ③．
解③得：-3≤a≤-

1

4

．
对①求导得：f′（x）=[-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²]•e^x，
要使f′（x）≤0在[a，1]上成立，
则g（x）=-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²≤0在[a，1]上成立，
由g′（x）=-6x²+（6a-12）x+12a=0，得x=a或x=-2．
当a≥-2时，g（x）在[a，1]上为减函数，
由g（a）=-2a³+3a³-6a²+12a²-4a²=a³+2a²≤0，
得a≤-2，
∴a=-2．
当a＜-2时，g（x）在[a，1]上的最大值为g（-2）=16+12a-24-24a-4a²=-4a²-12a-8．
由g（-2）≤0，解得：a≤-2或a≥-1．
∴a＜-2．
对②求导得：f′(x)=(

6a-1

x

+1-

a

x2

)•e=

x2+(6a-1)x-a

x2

•e．
要使f′（x）≤0在[1，-a]上成立，
则h（x）=x²+（6a-1）x-a≤0在[1，-a]上成立，
即

1+6a-1-a≤0 a2-6a2+a-a≤0

，解得：a≤0．
综上，存在实数a∈[-3，-2]，使f（x）在[a，-a]上为减函数．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了分段函数的单调性的判断，考查了学生的计算能力，是压轴题．