Question

15．如图1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2所示五棱锥P-ABFED，且AP=$\sqrt{30}$，
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥平面APO，
（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，则O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），求出平面OAP的一个法向量，平面ABP的一个法向量即可

解答 证明：（1）PO⊥EF，AO⊥EF，所以EF⊥平面POA，因为BD∥EF
∴BD⊥平面POA
则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?平面APO，PO?平面APO，
∴BD⊥平面APO，
（2）因为AP=$\sqrt{30}$，可证PO⊥AO，所以EF，PO，AO互相垂直
以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，
则O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，
则$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=3，
则$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3）…．cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，∴tanθ=$\frac{\sqrt{30}}{3}$
∴二面角B-AP-O的正切值为$\frac{\sqrt{30}}{3}$

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，考查了空间问题处理的能力，属于中档题．