Question

已知三棱锥P-ABC中，G₁、G₂、G₃分别是侧面△PAB，△PAC，△PBC的重心．
（1）求证：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求△G₁G₂G₃的面积与△ABC的面积之比．

Answer 1

考点：平面与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BG₁并延长交PA于点D，连接CG₂，并延长也交PA于点D，则G₁G₂∥BC，同理可证，G₂G₃∥AB，由此能证明平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）由DG₁=

1

2

BG₁、DG₂=

1

2

CG2，得DG₁=

1

3

BD，DG₂=

1

3

CD，从而G₁G₂=

1

3

BC，由此能求出△G₁G₂G₃的面积与△ABC的面积之比

1

9

．

解答：（1）证明：因为G₁、G₂分别是侧面△PAB，△PAC的重心，
所以可以连接BG₁并延长交PA于点D，连接CG₂，
并延长也交PA于点D，则BD、CD分别为△PAB，△PAC的中线，
根据△重心的性质，得DG₁=

1

2

BG₁，DG₂=

1

2

CG₂．
所以G₁G₂∥BC，（平行线分线段成比例）
同理可证，G₂G₃∥AB，
所以平面G₁G₂G₃∥平面ABC．
（2）解：因为DG₁=

1

2

BG₁、DG₂=

1

2

CG2，
所以DG₁=

1

3

BD，DG₂=

1

3

CD，
又G₁G₂∥BC，∴△DG₁G₂∽△DBC，
所以G₁G₂=

1

3

BC，
同理可证，G₂G₃=

1

3

AB，G₁G₃=

1

3

AC，
所以△G₁G₂G₃与△ABC的边长之比为

1

3

，
故△G₁G₂G₃的面积与△ABC的面积之比

1

9

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查两平面的面积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．