Question

设函数f（x）=|x²-2x-1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab-a-b的取值范围为（　　）

• A、（-2，3）
• B、（-2，2）
• C、（1，2）
• D、（-1，1）

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：作出函数f（x）的图象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，

π

4

），根据ab-a-b=2sin2θ-1，利用正弦函数的定义域和值域求得ab-a-b的范围．

解答：解：作出函数f（x）的图象，如图：可得f（x）=|x²-2x-1|的图象关于直线x=1对称，
且f（1-

2

）=f（1+

2

）=0，f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，

π

4

），则ab-a-b=（a-1）（b-1）-1=2sin2θ-1，
由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ-1∈（-1，1），即ab-a-b∈（-1，1），
故选：D．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，三角代换、正弦函数的定义域和值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．