Question

5．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函数y=2f（x）-5g（x）的单调区间；
（Ⅱ）记过函数y=f（x）-mg（x）两个极值点A，B的直线的斜率为h（m），问函数y=h（m）+2m-2是否存在零点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数的单调区间；
（2）求导，构造辅助函数，根据二次函数的性质及韦达定理，求得直线AB斜率，由题意函数存在零点即$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=2$有解，两根均为正且x₁x₂=1，设$q（x）=x-\frac{1}{x}-lnx$，求导，q（x）在区间（1，+∞）上单调递增，q（x）＞q（1）=0，则函数y=h（m）+2m-2没有零点．

解答 解：（Ⅰ）$y=2f（x）-5g（x）=2x-\frac{2}{x}-5lnx$，x＞0，求导$y'=2+\frac{2}{x^2}-\frac{5}{x}=\frac{{2{x^2}-5x+2}}{x^2}=\frac{（2x-1）（x-2）}{x^2}$，
令y′=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，或x=2，
当y′＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞2，当y′＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，…（3分）
∴函数y=2f（x）-5g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上递增，在$[\frac{1}{2}，2]$上递减，在（2，+∞）上递增．…（5分）
（Ⅱ）$y=f（x）-mg（x）=x-\frac{1}{x}-mlnx（x＞0）$，$y'=\frac{{{x^2}-mx+1}}{x^2}$，
设p（x）=x²-mx+1，设两个极值点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
∵函数有两个大于零极值点，
∴△=m²-4＞0，得m＞2且x₁+x₂=m，x₁x₂=1，
AB斜率$k=h（m）=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_2}-\frac{1}{x_2}-mln{x_2}-{x_1}+\frac{1}{x_1}+mln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=2-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$…（8分）
$y=h（m）+2m-2=2-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+2m-2=2m-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
由题意函数存在零点即$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=2$有解，两根均为正且x₁x₂=1，…（9分）
若x₁＜x₂，则0＜x₁＜1，x₂＞1，消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{2}{x_2}-2{x_2}$整理得${x_2}-\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=0$
令$q（x）=x-\frac{1}{x}-lnx$，则$q'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-x+1}}{x^2}≥0$，
∴q（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
∴q（x）＞q（1）=0，
∴函数y=h（m）+2m-2没有零点．…（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性及极值的关系，考查导数的几何意义，利用导数求函数切线方程，函数零点的判断，考查转化思想，属于中档题．