Question

2．如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=$\sqrt{6}$$+\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{3}$，∠ABC=120°，∠DAB=75°
（Ⅰ）设△ABC、△ABD的面积分别为S₁，S₂，求证：S₁＜S₂
（Ⅱ）求BD和DC的长．

Answer 1

分析 （I）分别计算出S₁，S₂即可得出S₁，S₂的大小关系；
（II）利用余弦定理求出BD，CD．

解答 解：（I）S₁=S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
S₂=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠DAB$=$\frac{1}{2}×2×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}{4}$=2+$\sqrt{3}$，
∴S₂-S₁=$\sqrt{3}-1$＞0，
∴S₁＜S₂．
（II）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos75°=4+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²-2×2×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
∴BD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴AD=BD，∴∠DBA=∠DAB=75°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°，
在△BCD中，由余弦定理得CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos∠CBD=12+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²-2×$2\sqrt{3}$×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
∴CD=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式，余弦定理解三角形，属于中档题．