Question

4．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若a=2，解不等式：f（x）≥3-|x-1|；
（2）若f（x）+|x+1|的最小值为4，且m+2n=a（m＞0，n＞0），求m²+4n²的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，化简不等式，去绝对值即可求解．
（2）根据不等式的解集求出a的值，利用柯西不等式的性质求解最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-a|．
当a=2时，不等式为|x-2|≥3-|x-1|，即|x-1|+|x-2|≥3，
x≤1时，不等式化为-x+1-x+2≥3，∴x≤0，∴x≤0；
1＜x＜2时，不等式化为x-1-x+2≥3不成立；
x≥2时，不等式化为x-1+x-2≥3，∴x≥3；
∴原不等式的解集为（-∞，0]∪[3，+∞）；
（2）f（x）+|x+1|的最小值为4，|x-a|+|x+1|≥4，
由绝对值的几何意义数值上的点与-1与a的距离的和的最小值为4，
∴a=3．
∴m+2n=3，
∴（1+1）（m²+4n²）≥（m+2n）²，
∴m²+4n²≥$\frac{9}{2}$，
∴m²+4n²的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的最值，以及绝对值不等式的解法，去掉绝对值是关键．同时考查了基本不等式的性质的运用．属于中档题．