Question

19．已知圆C：x²+y²=1，若直线l：x+y+m=0上存在一点P，在经过点P的所有直线中，至少有一对相互垂直的直线l₁，l₂，使这一对直线l₁，l₂与圆C均有公共点，则实数m的取值范围是[-2，2]．

Answer 1

分析 过点P作两条切线PA，PB，当PB⊥PB时，点P满足条件：x²+y²=2
依题意只需直线x+y+m=0与圆：x²+y²=2有公共点即可，
即$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{2}$，解得数m的取值范围

解答 解：如图，过点P作两条切线PA，PB，当PB⊥PB时，OP=$\sqrt{2}$，
即点P满足条件：x²+y²=2
∴经若直线l：x+y+m=0上存在一点P，过点P的所有直线中，至少有一对相互垂直的直线l₁，l₂，使这一对直线l₁，l₂与圆C均有公共点，
只需直线x+y+m=0与圆：x²+y²=2有公共点即可，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$$≤\sqrt{2}$，解得-2≤m≤2
则实数m的取值范围是：[-2，2]
故答案为：[-2，2]

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．