Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB=2，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点，连接OC，OA₁，得出OC⊥AB，OA₁⊥AB，运用AB⊥平面OCA₁，即可证明．
（2）确定∠CA₁O为直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的角，在Rt△COA₁中，求解即可．

解答： 解：（1）取AB中点，连接OC，OA₁，
∵CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OC⊥AB，OA₁⊥AB，
∵OC∩OA₁=O，
∴AB⊥平面OCA₁，
∵CA₁?平面OCA₁，
∴AB⊥A₁C；
（2）∵CA=AB=CB=2，
∴OC=

3

，
∵AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OA₁=

3

，
∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，
∴OC⊥平面AA₁B₁B，
∴∠CA₁O为直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的角，
Rt△COA₁中，OC=

3

，OA₁=

3

，CA₁=

6

∴直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值：

2

2

点评：本题综合考查了空间直线，平面的垂直，直线与平面所成的角，属于计算题，关键是确定角．