Question

10．数列{a_n}是各项为正数的数列，前n项和为S_n，且2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为B_n，求证：B_n＜$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2，可得$8{S}_{n}=（{a}_{n}+2）^{2}$，利用递推式化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，由于数列{a_n}是各项为正数的数列，可得a_n-a_n-1=4．再利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得a_n=4n-2．于是b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”、不等式的性质即可证明．

解答 证明：（1）∵2$\sqrt{2{S}_{n}}$=a_n+2，∴$8{S}_{n}=（{a}_{n}+2）^{2}$，
当n≥2时，8S_n-1=$（{a}_{n-1}+2）^{2}$，
∴8a_n=$（{a}_{n}+2）^{2}$-$（{a}_{n-1}+2）^{2}$，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
∵数列{a_n}是各项为正数的数列，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=4．
当n=1时，8a₁=$（{a}_{1}+2）^{2}$，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为4．
（2）由（1）可得a_n=2+4（n-1）=4n-2．
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（4n-2）（4n+2）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和B_n=$\frac{1}{8}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+$…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{8}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{8}$．
∴B_n＜$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．