Question

9．已知不等式$\frac{x+7}{x+3}$≥2的解集为A，关于x的不等式ax²-（2a+1）x+2＞0的解集为B．
（1）若A∪B={x|-3＜x＜2}，求实数a的取值范围；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解法求出集合A，利用两个集合的并集关系，列出不等式求出a的范围．
（2）利用A⊆B，列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+7}{x+3}$≥2，转化为不等式$\frac{-x+1}{x+3}≥0$，解得-3＜x≤1，∴A=（-3，1]．
关于x的不等式ax²-（2a+1）x+2＞0的解集为B，不等式化为：ax²-（2a+1）x+2=a（x-$\frac{1}{a}$）（x-2），
若A∪B={x|-3＜x＜2}，可得a＜0，并且$-3＜\frac{1}{a}≤1$，解得a∈（-$∞，-\frac{1}{3}$）．
（2）若A⊆B，可得a＜0时，$\frac{1}{a}≤-3$，解得a∈[$-\frac{1}{3}，0$）；当a=0时，集合B=（-∞，2）．
当a＞0时，$\frac{1}{a}＞2$，解得a∈$（0，\frac{1}{2}）$．
综上a∈[$-\frac{1}{3}$$，\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，集合间的关系，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．