题目内容
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b+c)(a-b+c)=3ac,且tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$A<C,AB边上的高为4$\sqrt{3}$,求A,B,C的大小与边a,b,c的长.分析 利用余弦定理,结合(a+b+c)(a-b+c)=3ac可求B,利用和角的正切公式,结合tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$可求A、C,再利用正弦定理求边.
解答 解:(a+b+c)(a-b+c)=3ac,
⇒a2+c2-b2=ac,
⇒cosB=$\frac{1}{2}$,
⇒B=60°.
tan(A+C)=$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$,
⇒-$\sqrt{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{1-tanAtanC}$,
⇒tanAtanC=2+$\sqrt{3}$,联合tanA+tanC=3+$\sqrt{3}$
得$\left\{\begin{array}{l}{tanA=2+\sqrt{3}}\\{tanC=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tanA=1}\\{tanC=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{A=75°}\\{C=45°}\end{array}\right.$(A<C故舍去)或$\left\{\begin{array}{l}{A=45°}\\{C=75°}\end{array}\right.$,
当A=45°,C=75°时,b=$\frac{4\sqrt{3}}{sinA}$=4$\sqrt{6}$,c=4($\sqrt{3}$+1),a=8
∴当A=45°,B=60°,C=75°时,a=8,b=4$\sqrt{6}$,c=4($\sqrt{3}+1$).
点评 本题主要考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题,正确利用公式是关键,属于基本知识的考查.
练习册系列答案
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15.函数y=2sin($\frac{π}{3}$-x)-cos($\frac{π}{6}$+x)(x∈R)最小值为( )
A. | -3 | B. | -2 | C. | -1 | D. | -$\sqrt{5}$ |
16.下列命题正确的是( )
A. | 三点可以确定一个平面 | |
B. | 一条直线和一个点可以确定一个平面 | |
C. | 四边形是平面图形 | |
D. | 梯形确定一个平面 |
6.已知某校在一次考试中,5名学生的历史和语文成绩如下表:
(Ⅰ)若在本次考试中,规定历史成绩在70以上(包括70分)且语文成绩在65分以上(包括65分)的为优秀,计算这五名同学的优秀率;
(Ⅱ)根据上表利用最小二乘法,求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,其中$\widehat{b}$=0.28;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)中的线性回归方程,试估计历史90分的同学的语文成绩.(四舍五入到整数)
学生的编号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
历史成绩x | 80 | 75 | 70 | 65 | 60 |
语文成绩y | 70 | 66 | 64 | 68 | 62 |
(Ⅱ)根据上表利用最小二乘法,求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$,其中$\widehat{b}$=0.28;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)中的线性回归方程,试估计历史90分的同学的语文成绩.(四舍五入到整数)