Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$+2f′（1）x．
（I）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a+2f′（1）x在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若存在x₁＞x₂＞0，使f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先求出f′（1）=0，f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$，再求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）由题意，a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），确定函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数g（x）=f（x）-klnx=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$-klnx，若函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$≥0，求出k的范围，再利用其反面，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$+2f′（1）x，
∴f′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$+2f′（1），
∴f′（1）=2f′（1），
∴f′（1）=0，f（x）=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=1，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-1=0；
（Ⅱ）由题意，a=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$=f（x），
∴f′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$=0，可得x=1．
∴函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-e²，f（1）=1，f（e）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，关于x的方程f（x）=a+2f′（1）x在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不同的实数根，
∴$\frac{3}{{e}^{2}}$＜a＜1；
（Ⅲ）构造函数g（x）=f（x）-klnx=$\frac{1+2lnx}{{x}^{2}}$-klnx，
∴g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$，
若函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{3}}$-$\frac{k}{x}$≥0，
∴k≤-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$，则h′（x）=-$\frac{4x-8xlnx}{{x}^{4}}$，
∴函数h（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递减，（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\sqrt{e}$时，h（x）_min=-$\frac{2}{e}$，
∴k≤-$\frac{2}{e}$，
∵存在x₁＞x₂＞0，使f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂成立，
∴k＞-$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．