Question

6．已知△ABC，若对任意t∈R，|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|恒成立，则△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 则根据向量的减法的几何意义，由|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|对一切实数t都成立可得|$\overrightarrow{AM}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，进而得到AC⊥BC，即可得到三角形为直角三角形．

解答 解：令$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$，则根据向量的减法的几何意义可得M在BC上，
由对任意t∈R，|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|恒成立可得：|$\overrightarrow{AM}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，
∴AC⊥BC，
则△ABC为直角三角形．
故选A．

点评 本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由|$\overrightarrow{BA}-t\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|对一切实数t都成立可得到AC为A到BC的距离．