Question

20．已知：m，n∈N^*，函数f（x）=（1-x）^m+（1-x）ⁿ．
（1）当m=n+1时，f（x）展开式中x²的系数是25，求n的值；
（2）当m=n=7时，f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀．
（i）求a₀+a₂+a₄+a₆
（ii）$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）展开式中x²的系数列出方程${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{2}$=25，求出n的值；
（2）（ⅰ）赋值法：分别令x=1和x=-1，两式相加求出a₀+a₂+a₄+a₆的值；
（ⅱ）赋值法：令x=$\frac{1}{2}$和x=0，即可求出$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$的值．

解答 解：（1）函数f（x）=（1-x）^m+（1-x）ⁿ，
当m=n+1时，f（x）展开式中x²的系数是
${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n}^{2}$=25，
即$\frac{1}{2}$n（n+1）+$\frac{1}{2}$n（n-1）=25，
解得n=±5，
应取n=5；     …（4分）
（2）（ⅰ）赋值法：令x=1，得f（1）=a₇+a₆+…+a₁+a₀，
令x=-1，得f（-1）=-a₇+a₆-…-a₁+a₀；
则f（1）+f（-1）=2（a₆+a₄+a₂+a₀）=2×2⁷=256，
所以a₀+a₂+a₄+a₆=128；------（8分）
（ⅱ）赋值法：令x=$\frac{1}{2}$，a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$=2×${（\frac{1}{2}）}^{7}$=$\frac{1}{64}$；
x=0，a₀=1+1=2，
因此）$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{7}}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{64}$-2=-$\frac{127}{64}$．------（12分）

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用赋值法求对应项的系数问题，是综合性题目．