Question

某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e^x(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

Answer 1

　(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10e⁴⁰，

则日销售量为件，∴日利润y＝(x－30－t)·.

∴y＝ (35≤x≤41)．

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35，

∴当35≤x≤41时，y′≤0.

∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e⁵.

②当4<t≤5时，35<t＋31≤36，函数y在[35，t＋31]上单调递增，在[t＋31,41]上单调递减．

∴当x＝t＋31时，y取最大值10e^9－t.

∴当2≤t≤4，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e⁵元；

当4<t≤5，x＝31＋t时，日利润最大值为10e^9－t元.