Question

某旅游景点预计2013年1月份起第x月的旅游人数p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=-3x²+40x（x∈N^*，1≤x≤12），已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=

35-2x(x∈N*，且1≤x≤6) 160 x (x∈N*，且7≤x≤12)

，试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,分段函数的应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额．

解答： 解：第x月旅游消费总额为g（x）=

(-3x2+40x)(35-2x)(1≤x≤6，x∈N+) (-3x2+40x)• 160 x (7≤x≤12，x∈N+)

即g（x）=

6x3-185x2+1400x，1≤x≤6 ; -480x+6400，7≤x≤12

（x∈N^*）…（8分）
当1≤x≤6，且x∈N^*时，g′（x）=18x²-370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=

140

9

（舍去）．
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）_max=g（5）=3125（万元）．…（10分）
当7≤x≤12，且x∈N^*时，g（x）=-480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）_max=g（7）=3040（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．…（12分）

点评：本题考查函数模型的选择和导数的应用，本题解题的关键是写出分段函数，要分别求出两段函数的最大值，进行比较．