Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

S3b3=(9+3d)•2q2=120 S2b2=(6+d2q=32

，由此能求出a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）由S_n=n（n+2），得

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项法能求出数列{

1

Sn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，
∴a_n=3+（n-1）d，bn=2qn-1，
依题意，得

S3b3=(9+3d)•2q2=120 S2b2=(6+d2q=32

，
解得d=2，q=2，或d=-

6

5

，q=

10

3

（不合题意，舍）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）∵S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．