Question

已知函数，．
（1）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；
（2）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．

Answer 1

（1）.（2）实数的取值范围是[．

试题分析：（1）切点处的导函数值，为切线的斜率.因此，设切点为，可得，即，
由（1）解得或.分别代人（2）讨论得到.
（2）由得：（4），
可化为：；
只需讨论确定，，，的最大值.
试题解析：（1）设切点为，由题意得：
，即，
由（1）解得或.（4分）
将代入（2）得：.
将代入（2）得：（3），
设，则，
所以在（0,2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，，所以方程（3）无实数解。（6分）所以，.
（2）由得：（4），
由知：在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以,的最小值为，
所以不等式（4）可化为：；（8分）
设，，，

当，时，，所以；
当，1）时，，所以；
所以在上单调递减，在[1，]上单调递增,
所以，又，，
，又，所以，
所以，，
所以，当，时，恒成立时实数的取值范围是[．（13分）
备注：解答题的其它解法可相应给分。