Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁、F₂，离心率为

1

2

，过左焦点F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆只有一个交点M，且与直线x=4交于点N，问：是否存在x轴上的某定点Q，使得以MN为直径的圆经过Q，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用椭圆的定义，得到4a=8，求得a=2，再由离心率公式，得到c=1，再由a，b，c的关系，求出b，进而得到椭圆方程；
（2）假设存在x轴上的某定点Q，使得以MN为直径的圆经过Q．将直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出M的坐标，求出向量的坐标，利用

MQ

•

NQ

=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）在三角形ABF₂中，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
则△ABF₂的周长为4a=8，即有a=2，
由于离心率为

1

2

，即e=

c

a

=

1

2

，则c=1，b=

a2-c2

=

3

，
则椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假设存在x轴上的某定点Q，使得以MN为直径的圆经过Q．
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程3x²+4y²=12得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，即m²=3+4k²．
∴x_M=-

4km

3+4k2

=-

4k

m

，y_M=kx_M+m=-

4k2

m

+m=

3

m

，即M（-

4k

m

，

3

m

）．
∵Q（t，0），又N（4，4k+m），
则

MQ

•

NQ

=（t+

4k

m

，-

3

m

）•（t-4，-4k-m）=（t+

4k

m

）（t-4）+

3

m

•（4k+m）
=t²-4t+3+

4k

m

（t-1）=0恒成立，
故

t=1 t2-4t+3=0

，即t=1．
∴存在点Q（1，0）适合题意．

点评：本题考查椭圆的方程和定义、性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．